Инварианты систем с диссипацией в динамике

В работе обсуждается теорема Ли о достаточном количестве первых интегралов, векторных полей симметрий и дифференциальных форм объема для интегрирования в квадратурах систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предъявлены тензорные инварианты (первые интегралы и дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные. Предъявлены примеры из динамики твердого тела.
Как известно [1, 2, 3], наличие достаточного количества не только первых интегралов (скалярных инвариантов), но и других тензорных инвариантов (например, дифференциальных форм) позволяет полностью проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Так, например, наличие инвариантной формы фазового объема позволяет внести свой вклад в интегрируемость. Для консервативных систем этот факт естественен. А вот для систем, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря, состоять из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций [4, 5, 6].
Так, например, задача о движении плоского (пространственного) маятника на цилиндрическом (сферическом) шарнире в потоке набегающей среды приводит к системе на касательном расслоении к одномерной (двумерной) сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Известны также задачи о движении точки по двумерным поверхностям вращения, плоскости Лобачевского и т.д. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил [5, 6].
В работе предъявлены тензорные инварианты (дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные.
[1] Poincaré H. Calcul des probabilités, Gauthier–Villars, Paris, 1912, 340 pp.
[2] Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Доклады АН СССР. – 1953. – Т. 93. —№ 5. — С. 763–766.
[3] Козлов В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 2019. — Т. 74. —№ 1(445). — С. 117–148.
[4] Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209–210.
[5] Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем нечетного порядка с диссипацией // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Т. 491. — № 1. — С. 95–101.
[6] Шамолин М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Т. 494. — № 1. — С. 105–111.