Объемы узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны

В докладе изучаются гиперболические, сферические или евклидовы структуры на коническом многообразии, носителем которого служит трехмерная сфера, а сингулярным множеством — заданный узел или зацепление.
Мы приводим тригонометрические тождества, связывающие длины сингулярных геодезических с коническими углами таких многообразий. Обнаружились довольно любопытные вещи: для таких длин и углов справедливы аналоги школьных теорем синусов и косинусов. Это позволило найти совершенно новый подход к решению дифференциальных уравнений Шлефли, связывающего объем многообразия с длинами сингулярных геодезических и коническими узлами. В результате удается вычислить объемы узлов в гиперболической, сферической и в, наиболее трудной, евклидовой геометриях.
В евклидовом случае необходимо в качестве единицы длины взять длину самого узла. Тогда удается доказать, что вычисленный таким образом евклидов объем, является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Этот результат можно рассматривать как далеко идущее обобщение теоремы Сабитова-Гайфуллина об объемах евклидовых многогранников.