Дифференциальные уравнения F(x,y,y')=0 с точки зрения геометрии и особенностей

Дифференциальное уравнение F(x,y,y')=0 естественно рассматривать как поле направлений на поверхности в трехмерном пространстве 1-струй функций y(x) и затем проектировать интегральные кривые этого поля на "фазовую плоскость" (x,y). При этом возникают особенности разных типов, о которых будет рассказано в докладе. В частности, будет объяснено, почему дискриминантная кривая этого уравнения почти всегда является "геометрическим местом" точек возврата (каспов) решений уравнения и только в исключительно редких случаях бывает их огибающей. Также я планирую рассказать о некоторых геометрических приложениях этих уравнений: асимптотические линии и линии кривизны на поверхностях. Если останется время, я также расскажу немного о более сложных уравнениях — уравнениях второго порядка, описывающих геодезические в псевдоримановых метриках переменной сигнатуры. Доклад задуман как обзорный, без изложения технических деталей и должен быть доступен студентам младших курсов.