Формальные и голоморфные деформации полидиска и шара в $\mathbb C^n$

Мы построим две алгебры Фреше, одна из которых является формальной деформацией алгебры $\mathcal O(\mathbb D^n)$ голоморфных функций на полидиске, а вторую естественно интерпретировать как голоморфную деформацию алгебры $\mathcal O(\mathbb D^n)$. В то время как формальная деформация является алгеброй над кольцом $\mathbb C[[h]]$ формальных степенных рядов, голоморфная деформация является алгеброй над кольцом $\mathcal O(\mathbb C^\times)$ голоморфных функций на проколотой комплексной плоскости. Будет установлено, что формальная деформация получается из голоморфной “расширением скаляров”. Аналогичная конструкция и аналогичный результат имеют место с заменой полидиска на шар в $\mathbb C^n$. В заключение мы покажем, что голоморфная деформация алгебры $\mathcal O(\mathbb D^n)$ (в отличие от формальной) не является проективным и тем более не является свободным $\mathcal O(\mathbb C^\times)$-модулем Фреше.