Неравенство Харди–Литлвуда–Соболева для мартингалов

Первое предложенное доказательство теоремы вложения Соболева — одного из фундаментальных результатов математической физики — опирается на оператор дробного интегрирования, также известный как потенциал Рисса. Это свёрточный оператор с ядром специального вида. Оказывается, что существует взаимосвязь между непрерывностью таких свёрточных операторов и мартингальными неравенствами. Мы покажем, как искать вероятностные аналоги результатов математической физики, и подробно разберём, к чему приводит применение такого принципа в случае потенциала Рисса.