О некоторых вопросах вокруг гипотезы Береста

Гипотеза Береста об орбитах в алгебре Вейля утверждает, что количество орбит решений полиномиального уравнения $F(X,Y)=0$ в первой алгебре Вейля, где $F$ — неприводимый многочлен над полем нулевой характеристики, конечно, если арифметический род соответствующей плоской кривой $>1$, и бесконечно в противном случае. Эта гипотеза тесно связана с теорией обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов, а также с известной гипотезой Диксмье об эндоморфизмах первой алгебры Вейля. Несколько недавних работ были посвящены проверке этой гипотезы в некоторых частных случаях. Несмотря на то, что в разных изученных примерах гипотеза оказывается неверна, она по-прежнему интересна для дальнейшего изучения, особенно над полем $\mathbb Q$. Я сделаю обзор известных, а также недавно полученных вместе с Junho Guo результатов вокруг этой гипотезы.