О приведении некоторых систем механики к системам Лиувилля

В 1846 году Ж. Лиувилль указал один из первых классов механических систем, для которых уравнение Гамильтона–Якоби решается методом разделения переменных. Для систем Лиувилля с двумя степенями свободы справедливо утверждение, согласно которому данная система допускает в дополнение к интегралу энергии еще один первый интеграл, квадратичный по обобщенным скоростям. Таким образом, Лиувиллева система с двумя степенями свободы оказывается интегрируемой, и становится возможным провести бифуркационный анализ совместных уровней первых интегралов.
В докладе приводятся примеры различных систем классической механики (как голономных, так и неголономных), которые путем преобразования координат и времени приводятся к системам Лиувилля с двумя степенями свободы. Рассмотрена задача Якоби о геодезических на эллипсоиде, задача Эйлера–Пуансо о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и задача о качении шара Чаплыгина по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.