Степень транзитивности алгебраического многообразия

Алгебраическое многообразие $X$ называется однородным, если группа $\mathrm{Aut}(X)$ действует на $X$ транзитивно. Такое действие может оказаться кратно транзитивным, и мы будем называть степенью транзитивности многообразия $X$ максимальное значение $k$, для которого группа $\mathrm{Aut}(X)$ действует на $X$ $k$-транзитивно. Если действие оказывается $k$-транзитивным для любого натурального $k$, будем говорить, что степень транзитивности бесконечна. Задача состоит в вычислении данного инварианта для конкретных (классов) многообразий. Мы кратко расскажем об известных результатах и сформулируем открытые вопросы.