О рационально интегрируемых плоских двойственных и проективных бильярдах

Каустикой строго выпуклого ограниченного плоского бильярда называется такая кривая, касательные прямые к которой отражаются от границы бильярда в её же касательные прямые. Знаменитая гипотеза Бирхгофа утверждает, что если граница имеет внутреннюю окрестность, расслоенную на замкнутые каустики, то бильярд – эллипс. Гипотеза Бирхгофа исследовалась многими математиками: Х. Порицким, М.Бялым, С.В.Болотиным, А.Е.Мироновым, В.Ю.Калошиным, А.Соррентино и другими.
Мы исследуем ее обобщенную двойственную версию, сформулированную С.Л.Табачниковым. А именно, рассмотрим замкнутую гладкую строго выпуклую плоскую кривую $\gamma\subset\mathbb{RP}^2$, снабженную структурой двойственного бильярда: семейством нетривиальных проективных инволюций, действующих на её проективных касательных прямых и оставляющих точки касания неподвижными. Предположим, что её внешняя окрестность допускает слоение на замкнутые кривые (включая $\gamma$) так, что инволюция каждой касательной прямой переставляет ее точки пересечения с каждой индивидуальной кривой (листом). Гипотеза Табачникова утверждает, что тогда $\gamma$ и листы слоения - коники, образующие пучок.
Мы докажем положительный ответ в случае, когда кривая $\gamma$ $C^4$-гладка и слоение имеет рациональный первый интеграл. Для этого мы покажем, что каждый $C^4$-гладкий росток плоской кривой $\gamma$, снабжённый рационально интегрируемой структурой двойственного бильярда, является коникой и классифицируем все рационально интегрируемые двойственные бильярды на конике. Их список включает не только двойственные бильярды, индуцированные пучками коник, но и две бесконечные серии экзотических двойственных бильярдов и пять дополнительных. экзотических бильярдов.