Об асимптотике длины кратчайшего пути между крайними вершинами в обобщённом графе Барака–Эрдёша

Случайный граф Барака — Эрдёша представляет собой ориентированную версию широко известного графа Эрдёша–Реньи. Множество вершин в этом графе неслучайно и пронумеровано числами $ 1, 2, \ldots, n $, а направленные рёбра из вершин с меньшими номерами в вершины с большими существуют с вероятностью $ p $ независимо друг от друга. Мы изучаем естественное обобщение графов Барака–Эрдёша, предполагая, что вероятность $ p $ существования ребра из вершины $ i $ в вершину $ j $ может зависеть как от общего количества вершин в графе $ n $, так и от номеров $ i $ и $ j $. Мы приведём ряд предельных результатов для длины кратчайшего пути между крайними вершинами в случае, когда $ n \to \infty $, а $ p \to 0 $.