Сложность задачи оптимального быстродействия для маятника

Физический маятник, управляемый приложенным к шарниру моментом, описывается уравнением $x''+\sin x=Au$, $|u|\le 1$, где $x$ — угол отклонения маятника от вертикали, а $A$ — максимальная амплитуда управляющего момента. Рассматривается задача быстрейшего приведения маятника в состояние устойчивого равновесия. Оптимальное управление релейно, т.е. принимает значения $|u|=1$. В аналогичной задаче для линейного маятника на каждой оптимальной траектории имеется конечное число переключений управления, если же рассматривать все оптимальные траектории с произвольным начальным состоянием, то соответствующее количество переключений может быть сколь угодно велико. Мы показываем, что для нелинейного маятника имеется общая верхняя граница для количества переключений на всех оптимальных траекториях. Найдена асимптотика этого числа когда параметр $A$ стремится к $0$.