Геометрические прогрессии в пространствах с расстоянием, приложения к неподвижным точкам и точкам совпадения отображений

Для пространства с расстоянием определяется понятие геометрической прогрессии. Рассматривается вопрос: каким свойством должно обладать пространство с расстоянием, чтобы для действующих в нем отображений были справедливы утверждения типа теорем Банаха и Надлера о неподвижной точке и утверждения типа теоремы Арутюнова о точках совпадения? Показано, что таким свойством является сходимость любой геометрической прогрессии со знаменателем меньшим 1. Приведены примеры пространств, обладающих и не обладающих данным свойством. Обсуждается справедливость в $f$-квазиметрических пространствах “правила 0 или 1”, означающего, что при заданной функции $f$ либо в любом $f$-квазиметрическом пространстве любая геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим 1 является фундаментальной, либо для произвольного $\gamma>0$ существует $f$-квазиметрическое пространство в котором некоторая геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma$ не является фундаментальной.