Аннотация:
В докладе будут доказаны несколько новых теорем об абелевых
группах, а точнее об их прямых ($\operatorname{colim}$), обратных ($\lim$) и производных
($\lim^1$) пределах. Для понимания доклада потребуется знакомство с
прямыми и обратными пределами (нам понадобится только случай, в
котором индексным множеством служат натуральные числа). Определение и
нужные нам свойства $\lim^1$ я коротко напомню. Но вообще обо всех трёх
можно прочитать, например, в книге А. Хэтчера "Алгебраическая
топология", параграф 3.Е (страницы 311–316 английского издания).
Рассмотрим коммутативную диаграмму из абелевых групп и гомоморфизмов
$$\begin{matrix}
\vdots&&\vdots&&\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
G_{10}&\to&G_{11}&\to&\dots\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
G_{00}&\to&G_{01}&\to&\dots.\!
\end{matrix}$$
Теорема 1. Пусть $L_n = \lim_k G_{kn}$. Если группы $G_{kn}$
конечно-порождённые и $\operatorname{colim} L_n = 0$, то для всякого $n$ найдётся $m>n$,
такое что гомоморфизм $L_n\to L_m$ тривиален.
Гипотеза А. Пусть $L_n = \lim^1_k G_{kn}$. Если группы $G_{kn}$ счётные и $\operatorname{colim} L_n = 0$, то для
всякого $n$ найдётся $m>n$, такое что гомоморфизм $L_n\to L_m$ тривиален.
Теорема 2. Гипотеза А верна, если (а) все вертикальные стрелки в
диаграмме инъективны, или (б) все горизонтальные стрелки в диаграмме
сюръективны.
Стоит отметить, что если все вертикальные стрелки в диаграмме
сюръективны, то гипотеза A верна по тривиальным соображениям.
Доказательство пункта б основано на теореме 3, которая утверждает,
грубо говоря, что гипотеза A верна по модулю пересечения всех конечных
членов фильтрации Боардмана. Теорема 3 также приводит к некоторым
вопросам о трансфинитной фильтрации Боардмана и к ответам на них, но
это уже тема для отдельного доклада.
Вся эта алгебра мотивирована следующей гипотезой в топологии, которая
в случае локально-компактных сепарабельных метрических пространств
вытекает из теоремы 1 и конечно-порождённого случая гипотезы A.
Гипотеза T. Если метрическое пространство имеет нулевые гомологии
Стинрода-Ситникова, то гомологии Стинрода его компактных подмножеств
образуют тривиальную ind-группу в каждой размерности. (ind-группа -
это объект ind-категории; ind-категория двойственна к pro-категории,
которую придумал Гротендик.)
Подключение к Zoom: https://mi-ras-ru.zoom.us/j/95004507525 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
Обратная связь: