Задача коллекционера

Пусть проводится серия независимых одинаковых испытаний, каждое из которых оканчивается одним из n равновозможных исходов. Серия проводится до момента, когда каждый из исходов-экспонатов появился m раз (то есть до момента, когда собрано ровно m полных коллекций). Классическая задача состоит в поиске математического ожидания длины серии. Задача известна как Сoupon Collector’s Problem. Впервые задача для одной коллекции появилась, вероятно, в сочинении Муавра (De Mensura Sortis, 1712); упоминалась Лапласом (Theorie Analytique des probabilities, 1812). Решение для двух и более коллекций впервые дали Ньюман и Шепп (D.J.Newman и L.Shepp) в 1960 г. в виде несобственного интеграла. Ими же найдена асимптотическая формула, уточнение которой ука-зали Эрдеш и Реньи (P. Erdős, A. Renyi) в 1961 г. Настоящий доклад посвящен исследованию случайной величины «Дефицит экспонатов 2-й коллекции в момент завершения 1-й коллекции» и альтернативным представлениям математического ожидания длины серии, которая требуется для завершения двух коллекций. Показано, что распределение дефицита 2-й коллекции и средняя длина серии, требующейся для завершения двух коллекций, выражаются через полные однородные симметрические многочлены определенного вида.