Алгебры Берже, специальные группы голономии и метод сдвига аргумента

Пусть $\nabla$ — аффинная связность на гладком многообразии $M$. Ее группой голономии называется подгруппа линейный преобразований касательного пространства в точке $x\in M$, состоящая из операторов параллельного переноса по замкнутым путям с началом и концом в данной точке. Описание возможных групп голономий — классическая задача дифференциальной геометрии. Наиболее важным является описание этих групп для симметрических римановых связностей. Эта задача была решена в классической работе М.Берже, где он, в частности, предложил чисто алгебраический критерий для проверки того, является ли заданная подалгебра в $gl(n,\mathbb R)$ алгеброй голономии для некоторой симметричной связности. Для псевдоримановых многообразий задача классификации групп голономий не решена. Более того, считается, что ее полное решение вряд ли возможно в разумных терминах.
В докладе будет рассказано о новой серии групп голономий (в псевдоримановом случае), обнаруженной недавно автором и Драгомиром Цоневым. А именно будет показано, что для любого псевдоевклидова скалярного произведения $g$ сигнатуры $(p,q)$ и любого $g$-самосопряженного оператора $L$, его централизатор $G_L$ в $SO(p,q)$ является группой голономии некоторой псевдоримановой метрики. Доказательство основано на довольно неожиданной связи этой задачи с методом сдвига аргумента, которая позволила “угадать” красивые явные формулы, немедленно приводящие к результату.