Кристаллы Кашивары и компактификации Делиня-Мамфорда

Кристаллы Кашивары представляют собой комбинаторную модель тензорной категории конечномерных представлений полупростой комплексной алгебры Ли, где весовые векторы в представлении изображаются точками (размеченными весами представления), а действие образующих Шевалле – стрелочками (размеченными простыми корнями). Кристаллы Кашивары образуют мономиальную категорию, в которой тензорное произведение несимметрично, но тензорные произведения двух кристаллов в разных порядках все-таки связаны при помощи некоторого функториального изоморфизма. Эта структура похожа на braiding в категории представлений квантовой группы (и, фактически, происходит из нее), однако соотношению группы кос коммуторы не удовлетворяют. В частности, на тензорной степени данного кристалла всевозможные коммуторы порождают не действие группы кос $B_n$, а действие другой группы $J_n$, называемой кактусной группой – $S_n$-эквивариантной фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда $\overline{M_{0,n+1}}(\mathbb{R})$ пространства модулей вещественных стабильных рациональных кривых с $n+1$ отмеченными точками. Такие моноидальные категории называются кограничными. Я расскажу нашу с Джоэлем Камницером, Ивой Халачевой и Алексом Виксом общую конструкцию (комбинаторной, полупростой) кограничной моноидальной категории как семейства согласованных накрытий над вещественными пространствами Делиня-Мамфорда, проясняющую появление вещественной компактификации Делиня-Мамфорда в этом контексте. Развивая этот подход, мы задаем конкретные кограничные категории (т.е. кограничные категории, снабженные моноидальным функтором в Sets) тоже как семейства согласованных накрытий над некоторым бОльшим пространством модулей – аналогом компактификации Делиня-Мамфорда для рациональных кривых с $n+1$ отмеченными точками и тривиализацией $O(1)$ в последней из них. С помощью этой конструкции я дам еще два эквивалентных определения категории кристаллов Кашивары для данной полупростой алгебры Ли $\mathfrak{g}$: 1) при помощи решений анзаца Бете в магнитной цепочке Годена, соответствующей алгебре Ли $\mathfrak{g}$, и 2) при помощи $\mathfrak{g}^\vee$-оперов (относительно двойственной по Ленглендсу алгебры Ли $\mathfrak{g}^\vee$) на рациональной кривой с регулярными особенностями в отмеченных точках.