Комбинаторная точка зрения в алгебраической K-теории пространств

Предлагается обсудить статью Хэтчера (1975, Ann. Math.), её исправления по М. Стайнбергеру (1986), Т. Чепмену (1987), Ф. Вальдхаузену и др. (см. http://folk.uio.no/rognes/papers/plmf.pdf, особенно параграф 1.4) и упрощение их формулировок, приведённое ниже (а также частично у Н. Мнёва http://mi.mathnet.ru/znsl104); и заодно мотивировки, которые включают гипотезу Эндрюса–Кёртиса.
Пусть $P$ — конечный чум (poset), и $|P|$ — его геометрическая реализация. Пусть $Wh$ (соответственно, $Wh(P)$) — классифицирующее пространство категории $CE$ (соответственно $CE(P)$), объектами которой являются конечные чумы $Q$ (содержащие $P$, причём так, что $|P|$ — деформационный ретракт $|Q|$), а морфизмами — монотонные отображения (неподвижные на $P$), такие что прообраз каждого элемента имеет стягиваемую геометрическую реализацию. (Другими словами, геометрическая реализация морфизма — CE-отображение. Морфизмы категории $CE$ встречаются также в комбинаторной теории вложений, arXiv: 1103.5457.)
В силу лемм М. М. Коэна $\pi_0(Wh(P))$ есть группа Уайтхеда $Wh(\pi_1(|P|))$.
Утверждается, что $Wh$ — классифицирующее пространство для серровских PL-расслоений (в частности, как заметил Хэтчер, слои таких расслоений не только гомотопически эквивалентны, но и просто гомотопически эквивалентны друг другу), а $Wh(P)$ — для серровских PL-расслоений с гомотопическим слоем $|P|$ и послойной гомотопической трививализацией.
Кроме того, если $M$ — комбинаторное многообразие, можно рассмотреть классифицирующее пространство $BC(M)$ подкатегории категории $CE(M)$, объектами которой являются чумы $Q$, содержащие $M$ и такие, что отождествление $|M|=|M|\times \{0\}$ продолжается до PL-гомеоморфизма $|Q|\to|M|\times [0,1]$, а морфизмами — измельчения, неподвижные на $M$. (Измельчения чумов встречаются также в комбинаторной трансверсальности, http://www.mi.ras.ru/~melikhov/fall09.pdf и у Мнёва, который называет их сборками.) Выше предполагается, что $M$ — без края; в случае с краем дополнительно требуется, чтобы боковые стенки $(\partial M)\times I$ не заползали в верхнее основание $M\times\{1\}$ при гомеоморфизме.
Утверждается (параметрическая теорема об $s$-кобордизме), что прямой предел $\lim_n BC(M\times I^n)$ гомотопически эквивалентен $Wh(M)$, причём отображение из $BC(M)$ в этот прямой предел многосвязно, если само $M$ многомерно и многосвязно. Кроме того, пространство петель $\Omega BC(M)$ гомотопически эквивалентно пространству PL-псевдоизотопий PL-многообразия $|M|$.