$C^*$-формы Дирихле и некоммутативная метрическая геометрия

Рассказ будет посвящён одному из подходов к некоммутативной метрической геометрии. Зафиксируем $C^*$-алгебру и полуконечный точный след на ней. Форма Дирихле — это плотно-определённая квадратичная форма на соответствующем паре $L^2$-пространстве, порождающая на нём полугруппу “диффузии” (вполне марковских операторов). J.-L. Sauvageot и F. Cipriani в серии своих работ показали, что задав такую форму, можно канонически построить бимодуль (над $C ^*$-алгеброй) "$L^2$-сечений касательного расслоения" и оператор “градиента”, принимающий значения в этом бимодуле. Кроме этого, по форме Дирихле можно канонически построить пространство “липшицевых” элементов алгебры, аналоги оператора “дивергенции” и “лапласиана”.
Интересными примерами таких некоммутативных пространств являются, например, формы Дирихле на групповых алгебрах и на алгебрах Клиффорда тензорных полей риманова многообразия. В коммутативном случае эта теория тоже интересна, так как позволяет определять нетривиальные “касательные расслоения” на патологических метрических пространствах (граф, ковёр Серпинского) как бимодули сечений с несовпадающими левыми и правыми действиями.