Пространства со сходимостью: сети против фильтров

Любое топологическое пространство естественным образом порождает понятие сходимости. Однако существуют важные сходимости, не порожденные никакой топологией, например, сходимость почти всюду. В частности, сходимости такого типа играют важную роль в теории векторных решеток. В ответ на эту проблему, в 50-х была разработана теория пространств со сходимостью, обобщающая топологию. Однако эта теория была изначально разработана в терминах фильтров, что делает неудобным ее применение в анализе, поскольку многие результаты в анализе (включая, например, те же векторные решетки) традиционно формулируются на языке сходящихся последовательностей или сетей (обобщенных последовательностей). В докладе будет представлено построение теории пространств со сходимостью на языке сетей. С одной стороны, представленная теория эквивалентна классической теории сходимости фильтров, что позволяет использовать известные результаты этой теории. С другой стороны, язык сетей облегчает применение этой теории в анализе.