Группа компонент и когомологии Галуа вещественной редуктивной группы

Пусть $G$ — связная линейная алгебраическая группа, определённая над полем вещественных чисел. Группа её комплексных точек $G(\mathbb C)$ является связной комплексной группой Ли, однако группа вещественных точек $G(\mathbb R)$ — уже, вообще говоря, несвязная вещественная группа Ли: примерами тому служат $GL_n(\mathbb R)$ или $SO_{k,l}(\mathbb R)$. Естественная задача состоит в вычислении группы компонент связности $\pi_0 G(\mathbb R) = G(\mathbb R)/G(\mathbb R)^\circ$. Оказывается, эта задача связана с другой задачей теории алгебраических групп: вычислением вещественных когомологий Галуа группы $G$. Обе задачи сводятся к случаю редуктивных групп.
Мы дадим единообразное эффективное решение обеих задач в терминах комбинаторных данных, определяющих вещественную редуктивную группу $G$ (аффинная диаграмма Дынкина и целочисленные отметки на её вершинах, решётка характеров максимального тора вместе с инволюцией и т. п.). Хотя ответы имеют чисто алгебраический и комбинаторный характер, доказательства используют трансцендентные лиевские методы, такие как экспоненциальное отображение торов и действие аффинных групп Вейля на их алгебрах Ли.
Доклад основан на совместных работах с Михаилом Боровым arXiv:2008.11763 (опубликовано в Transform. Groups 26 (2021), no. 2, 433–477) и arXiv:2110.13062.