Симметрические степени многообразий Севери-Брауэра

Многообразие Севери-Брауэра над полем $k$ — это такое алгебраические многообразие $X/k$, что после замены базы на сепарабельное замыкание $k^{sep}$ оно становится изоморфным проективному пространству $\mathbb{P}^n$. Мы увидим, что $(n+1)$-я симметрическая степень $n$-мерных многообразий Севери-Брауэра рациональна, а так же изучим некоторые факты про устройство их произвольных симметрических степеней и грассманианов. В докладе я буду следовать статье Яноша Коллара. Рассказ предполагается элементарным (потребуются только базовые факты из алгебраической геометрии).