Конечные кратности и обобщение сферических пространств

Пусть $G$ — редуктивная алгебраическая группа, определённая над вещественными числами. Известно, что представление группы $G$ в пространстве функций Шварца на однородном пространстве $G/H$ «ручное», если $G/H$ — сферическое $G$-пространство. В частности, это представление имеет конечные кратности.
Я хочу рассказать о недавно законченной совместной работе с А. Айзенбудом, в которой мы формулируем и анализируем обобщение понятия сферического пространства. Представления в функциях Шварца на таких пространствах могут иметь бесконечные кратности, но «достаточно маленькие» неприводимые гладкие представления по-прежнему входят с конечными кратностями. Я вкратце объясню все необходимые аналитические понятия, такие как функции Шварца и гладкие представления в пространствах Фреше.
Для любого $G$-пространства $X$ и любого замкнутого $G$-инвариантного подмножества $S$ нильпотентного конуса алгебры Ли группы $G$ мы определим, когда $X$ является $S$-сферическим, при помощи геометрического условия на размерности слоёв отображения момента. Мы покажем, что если $X$ является $S$-сферическим, то представления, чьи ассоциированные многообразия лежат в $S$, имеют конечные кратности в пространстве функций Шварца на $X$.
В случае, когда $S$ — замыкание pичардсоновой орбиты, связанной с параболической подгруппой $P$, наше условие эквивалентно конечности числа орбит $P$ на $X$.
Наш основной инструмент в доказательстве конечности кратностей — это теория $D$-модулей. Я кратко опишу необходимые элементы этой теории и представлю набросок нашего доказательства.
Доклад основан на препринте arXiv:2109.00204.