Взвешенный комбинаторный поток Ямабе на триангулированных поверхностях

Доклад посвящен обобщенному варианту дискретного потока Ямабе на триангулированных поверхностях. Вершинам триангуляции при этом приписываются определенные положительные веса. В случае одинаковых весов, получается поток Ямабе, рассмотренный Ф.Луо.
Мы обсудим "наивную" версию дискретного потока Риччи, покажем, что он имеет большое количество первых интегралов, которые позволяют показать, его эквивалентность потоку Ямабе. Также мы обсудим типы особенностей, которые может формировать поверхность под действием потока.
Интерес к этой задаче обусловлен следующими результатами. Гамильтоном и Чоу было показано, что на замкнутой двумерной поверхности поток Риччи обладает очень важным свойством: для любой начальной метрики его решение сходится к метрике постоянной кривизны. Естественный вопрос, обладает ли этим свойством дискретизация потока Риччи, оказывается нетривиальным. Чоу и Луо предложили вариант дискретного потока Риччи для поверхностей, который этим свойстом обладает, но при условии, что для поверхности с данной триангуляцией существует метрика постоянной кривизны. В их подходе используются метрики упаковок кругов.
Вместе с тем, наиболее простая дискретная версия потока Риччи ("наивная") в качестве метрики использует набор длин ребер триангуляции. Эксперименты показывают, что такой поток может приводит к формированию особенностей. Классификация типов особенностей важна, так как она позволят описать перестройки, которые позволяют продолжить решение потока дальше, т.е. позволяют определить дискретный поток Риччи с перестройками. Сходимость решения такого потока для двумерных поверхностей к метрике постоянной кривизны, по всей видимости, пока не доказана.
Идентификатор для Zoom 817 4069 6665 Код 391118