Топологическая классификация интегрируемых магнитных топологических биллиардов

Математический биллиард — это динамическая система, описывающая движение биллиардного шара (материальной точки) внутри замкнутой ограниченной области (биллиардному столу). При ударе о границу шар отражается от нее абсолютно упруго. Рассмотрим плоский биллиард, в котором на шар действует постоянное магнитное поле, ортогональное плоскости биллиардного стола. Гамильтонианом такой системы является кинетическая энергия, а траектория шара состоит из дуг окружностей равных радиусов. В случае выпуклой области А. Е. Миронов и М. Бялый доказали, что такой биллиард будет интегрируемым тогда и только тогда, когда его границей является окружность (с небольшими уточнениями). Несложно показать, что биллиард, ограниченный двумя концентрическими окружностями, также интегрируем с тем же дополнительным первым интегралом. Геометрический смысл этого интеграла — это расстояние от центра биллиарда до центра окружностей, чьи дуги составляют траекторию шара.
Теперь возьмем несколько копий магнитных биллиардов в круге и кольце и склеим их по границам так, чтобы полученное конфигурационное пространство было гомеоморфно некоторому ориентируемому многообразию (в частности, по каждой граничной окружности склеено не более двух плоских столов). Двигаясь по одному листу склейки и отражаясь от границы, шар переходит на соседний лист. Такие биллиарды были введены и классифицированы в отсутствие магнитного поля (как с точки зрения устройства стола, так и с точки зрения топологии слоения Лиувилля на фазовом пространстве) В. В. Ведюшкиной.
Изучим топологию слоения Лиувилля таких систем при наличии магнитного поля. В зависимости от соотношения радиусов листов, а также от характера конфигурационного пространства, слоения Лиувилля топологических биллиардов получаются разными. На докладе будут представлены бифуркационные диаграммы магнитных топологических биллиардов и их инварианты Фоменко-Цишанга (меченые молекулы), а также описаны свойства этих инвариантов. Результат получен докладчиком совместно с В.В.Ведюшкиной.