О приведении гладкой функции к нормальной форме вблизи критической точки

Доклад посвящен “равномерному” приведению гладких функций на 2-мерных многообразиях к каноническому виду в особых точках этих функций. Рассматривается гладкая функция двух переменных вида $f(x,y) = x^3 + y^4 + R(x,y)$, где ряд Тейлора функции $R(x,y)$ в нуле имеет нулевые коэффициенты при всех мономах вида $x^ky^l, 4k + 3l < 13$. Известно, что такая функция имеет особенность $E_6$, т.е. приводится к виду $f = x^3 + y^4$ некоторой заменой координат. Мы явно построим такую замену и оценим снизу максимальный радиус окрестности, в которой эта замена регулярна. Наша замена и радиус указанной окрестности выражаются через исходную функцию и ее частные производные порядка $<8$ с помощью алгебраических операций и операции взятия собственного интеграла. Наша замена является “равномерным” приведением функции в особой точке типа $E_6$ к каноническому виду $x^3 + y^4$ в том смысле, что построенная нами окрестность и замена координат в ней (а также все частные производные замены координат) непрерывно зависят от функции $f$ и ее частных производных. Равномерное приведение функций в особых точках к каноническому виду было известно ранее для случая гладко-устойчивых особенностей (J.N. Mather 1969). Равномерное приведение гладких функций к каноническому виду C^k-гладкими заменами (для конечных k) известно для топологически-устойчивых особенностей (H. Brodersen 1983) и особенностей конечного типа (А.М. Самойленко 1968).