Двойственность особенностей орбитальных многообразий и сложности действия борелевских подгрупп на них

Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak g$ над $\mathbb C$ с присоединённой группой $G$. Пересечение нильпотентной $G$-орбиты $\mathcal O\subset \mathfrak g$ с подалгеброй Бореля $\mathfrak b \subset \mathfrak g$ распадается (в общем случае) на компоненты, называемые орбитальными многообразиями. Их размерности равны $\frac12 \operatorname{\mathrm{dim}}\mathcal O$. По своему построению эти компоненты инвариантны под действием подгруппы Бореля $B \subset G$ с алгеброй Ли $\mathfrak b$. Их общее описание (по Стейнбергу) таково: надо подействовать подгруппой $B$ на определённые подпространства в нильрадикале алгебры Ли $\mathfrak b$ и взять замыкания полученных подмножеств внутри $\mathcal O$. В общем случае это сложные объекты. Относительно простыми из них являются гладкие орбитальные многообразия и орбитальные многообразия с плотной $B$-орбитой. В классических алгебрах Ли в пересечении каждой нильпотентной орбиты $\mathcal O \subset \mathfrak b$ есть по крайней мере одна гладкая компонента и одна компонента с плотной $B$-орбитой. Между этими двумя видами компонент по нашему предположению существует двойственность, выражаемая особо просто в $\mathfrak g = \mathfrak{sl}_n(\mathbb C)$, где орбитальные многообразия индексируются таблицами Юнга, а их двойственность, по нашему предположению, выражается транспонированием таблиц. Во всяком случае, дело обстоит именно так в том частичном списке гладких многообразий и многообразий с плотной $B$-орбитой, который известен нам.
В орбите с двумя жордановыми блоками все орбитальные многообразия гладки, а, соответственно, в орбите нильпотентного порядка 2 во всех орбитальных многообразиях есть плотная $B$-орбита. Мы изучали действие подгруппы Бореля $B \subset \mathrm{SL}_n(\mathbb C)$ на орбитальные многообразия для орбит с двумя жордановыми блоками и строение многообразий особых точек в орбитальных многообразиях для орбит нильпотентного порядка 2. Оказалось, что двойственность распространяется и далее, то есть коразмерность орбиты общего положения подгруппы Бореля в орбитальном многообразии с таблицей $T$ связана со сложностью подмногообразия особых точек орбитального многообразия с таблицей $T^\top$.
Это совместная работа с Люкой Фрессом, а также с Ронит Мансур и Эхсаном Абедом Эльфатахом.