О множествах достижимости двухуровневой квантовой системы с когерентным и некогерентным управлениями

Пространство состояний двухуровневой квантовой системы (кубита) – шар Блоха, $x\in\mathbb{R}^3$, $|x|\le 1$ (чистые состояния принадлежат сфере Блоха $|x|=1$). Управляемая система имеет вид
$$ \dot x = f_0(x) + 2\kappa f_1(x)u + \gamma f_2(x)n. $$
Здесь $u\in\mathbb{R}$ – когерентное управление, $n\in\mathbb{R}_+$ – не когерентное управление, $\kappa,\gamma$ – физические константы, а $f_i(x)$ – некоторые аффинные по $x$ векторные поля.
Известно, что система (и ее обобщения на многоуровневый случай) является аппроксимативно управляемой, то есть управляема с некоторой физически малой точностью $\delta$. На докладе я расскажу о недавних точных результатах по структуре множеств достижимости для этой системы:

• В действительности система не является управляемой, так как имеет «лакуны» размера $\sim\delta$. Вне этих лакун система точно управляема – для любых начального и конечного состояний вне лакун найдется управление, переводящее начальное состояние в конечное.
• Множества достижимости системы с помощью только когерентного управления (т.е. при $n=0$) совпадают с множествами достижимости системы с помощью и когерентного, и некогерентного управлений с точностью до граничных точек. Другими словами, наличие некогерентного управления не увеличивает размера множеств достижимости.
• Пребывая в покое ($u=n=0$), система экспоненциально быстро стремится к единственному положению равновесия – южному полюсу $S$. Я продемонстрирую структуру множеств достижимости из $S$.