«Проблема северного полюса» при естественной мере на вращениях

Доказывается, что плотность распределения образа «северного полюса» на сфере Римана в $\mathbb R^3$ под действием случайного вращения имеет полюс в «северном полюсе». Она обратно пропорциональна синусу половины углового расстояния до «северного полюса». Предполагается, что центр вращения (неподвижная точка сферы) и угол поворота выбираются независимо в соответствии с равномерным распределением соответственно на сфере и на окружности. Этот эффект был известен для образа «северного полюса» после двукратного применения вращения выбираемого в соответствии с мерой Хаара. Данный эффект справедлив в общем случае — для $r$-кратных вращений с целым $r\ge2$.