Интегрируемый биллиард в эллипсе с полиномиальным потенциалом малого порядка

Рассмотрим математический биллиард внутри эллиптической области. Материальная точка отражается от границы области согласно стандартному закону отражения. Известно, что если на точку во время движения не действуют сторонние силы, то у такой системы существуют два независимых первых интеграла, то есть биллиард является вполне интегрируемым по Лиувиллю. Теперь добавим к системе некоторую потенциальную силу с потенциалом Q(x,y), действующую на точку. Оказывается, что в общем случае интегрируемость такого биллиарда нарушается. Тем не менее, существует условие на Q, при котором интегрируемость сохраняется. В частности, из этого условия следует, что все потенциалы в форме многочлена, сохраняющие интегрируемость, обязаны быть четной степени.
Интегрируемый биллиард с потенциалом второй степени был исследован ранее И. Ф. Кобцевым. Нынешний доклад посвящен биллиарду с потенциалом четвертой степени. Будут приведены точные формулы первых интегралов, бифуркационные диаграммы и полные инварианты Фоменко-Цишанга, имеющие место для данного биллиарда.