Дифференциальные инварианты действий алгебраических групп и псевдогрупп и их применение в классической теории инвариантов и геометрической теории дифференциальных уравнений

Изучение пространства орбит $\Omega/G$ действия $G:\Omega$ группы $G$ на пространстве $\Omega$ является одной из фундаментальных задач математики, имеющей большое количество приложений в самых разных ее областях: теории представлений, геометрии, дифференциальных уравнениях и др.
Многие задачи, связанные с описанием пространства орбит, относятся к одному из двух следующих случаев:

• $\Omega$ — алгебраическое многообразие, а $G$ — алгебраическая группа Ли, действующая алгебраически на $\Omega$ (алгебраический случай);
• $\Omega$ — гладкое многообразие, а $G$ — группа Ли (геометрический случай).

В докладе будет рассказано о новых подходах к решению подобных задач. Эти подходы основаны с одной стороны на теории дифференциальных инвариантов и геометрической теории дифференциальных уравнений, а с другой стороны — на алгебраической геометрии и классической теории инвариантов. Таким образом, в работе развивается и укрепляется связь между двумя, казалось бы, далекими областями математики: геометрией дифференциальных уравнений и алгебраической геометрией.
Основные результаты работы таковы.

• Описаны поля дифференциальных инвариантов линейного действия алгебраической группы $G$ на пространстве комплексных однородных форм многих переменных, классифицированы регулярные $G$-орбиты этого действия.
• Построены базисные дифференциальные инварианты и инвариантные дифференцирования для действия полупростой алгебраической группы в ее неприводимом представлении, описаны регулярные $G$-орбиты, получен критерий эквивалентности.
• Построены контактная и точечная классификации различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислены их алгебры дифференциальных инвариантов.
• Получена точечная классификация контактных векторных полей общего положения на пространстве 1-джетов.
• Описаны различные подгруппы в группе бирациональных контактных отображений пространства 1-джетов.
• Построены эффективные и глобальные классификации в различных задачах геометрической теории дифференциальных уравнений.