Кристаллографические аффинные группы

В 1967 году Л. Ауслендер сформулировал следующую гипотезу: всякая кристаллографическая аффинная группа почти разрешима, т. е. содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Геометрическая формулировка этой гипотезы такова: фундаментальня группа компактного локально плоского многообразия аффинной связности почти разрешима. К сожалению, доказательство этой гипотезы, предложенное Ауслендером, содержало принципиальную ошибку, и гипотеза остается открытой до сих пор. Позже Д. Милнор поставил следующий вопрос: верно ли, что фундаментальная группа любого (не обязательно компактного) полного локально плоского многообразия аффинной связности почти разрешима? Отрицательный ответ на этот вопрос в трехмерном случае дал Г. Маргулис в 1981 году. С другой стороны, в том же году Фрайд и Голдман доказали гипотезу Ауслендера для трехмерных многообразий. Таким образом, компактность многообразия играет ключевую роль. Цель доклада — рассказать о последних совместных результатах докладчика с Г. Абельсом и Г. Маргулисом, направленных на доказательство гипотезы Ауслендера, и о проблемах, индуцированных этой гипотезой и вопросом Милнора.