Случайные бесконечные перестановки

Простейшая модель случайных перестановок задается равномерной мерой на симметрической группе фиксированной степени $n$, когда все элементы этой группы считаются равновероятными, т.е. имеющими вес $1/n!$. Обширный раздел вероятностной комбинаторики посвящен изучению асимптотических свойств случайных перестановок при стремлении параметра $n$ к бесконечности.
Однако вопрос можно поставить по-другому, в духе замены потенциальной бесконечности на актуальную бесконечность: существует ли разумная модель случайных перестановок бесконечного множества (скажем, натурального ряда)? На первый взгляд, ответ отрицательный, поскольку на группе $S$ перестановок натурального ряда ввести равномерную меру невозможно по очевидным причинам. На группе $S$ нет и ближайшего аналога равномерной меры — нормированной меры Хаара. Дело в том, что такая мера существует только на компактных топологических группах, тогда как $S$ ни в какой групповой топологии не будет компактной.
Несмотря на столь очевидные препятствия, содержательные модели бесконечных перестановок существуют. Я хочу рассказать о двух таких моделях. Первая из них (т.н. виртуальные перестановки) была предложена еще в 90-е годы в совместной работе А. М. Вершика, С. В. Керова и докладчика. Виртуальные перестановки существенно используются в теории представлений. Вторая модель возникла в недавних работах А. В. Гнедина и докладчика при изучении $q$-аналога теоремы де Финетти. Возможные применения второй модели еще не вполне ясны, но конструкция настолько проста и естественна, что не может оказаться пустой игрой ума. Любопытно, что при всем различии этих двух моделей, у них обнаруживаются и некоторые общие черты.
Специальных знаний для понимания доклада не требуется.