Специальная эргодическая теорема и ее применения

Пусть преобразование обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. По теореме Биркгофа, мера множества тех точек, для которых временное среднее не равно пространственному, нулевая. Рассмотрим множество $X_a$ таких точек, для которых временное среднее отличается от пространственного не меньше, чем на $a>0$. Можно ли утверждать, что его хаусдорфова размерность не полная? Если ответ положительный, то соответствующее утверждение называется специальной эргодической теоремой.
Вопрос естественным образом возникает при попытке переноса метрических свойств для косых произведений на их возмущения и помогает избежать т.н. «кошмара Фубини».
Мы приведем принадлежащее Ю. С. Ильяшенко доказательство специальной эргодической теоремы для линейного удвоения окружности и дадим иллюстрацию к ее применению, упомянутому выше. Кроме того, мы докажем, что специальная эргодическая теорема выполнена для более широкого класса отображений, а также приведем пример преобразования, для которого это утверждение неверно (В. А. Клепцын и докладчики).