Проблемы Уитни для пространств Соболева

В 1934 году Х. Уитни поставил следующую задачу. Пусть $m$ есть натуральное число и $S$ есть непустое подмножество в $\mathbb{R}^n$. Для заданной вещественнозначной функции $f$ на $S$ найти условия, необходимые и достаточные для существования функции $F \in C^m (\mathbb{R}^n)$, являющейся продолжением $f$, т.е. $F|_S=f$. В полной общности эта проблема была решена Ч. Фефферманом в середине 2000-х. Большой интерес представляет аналогичная задача, сформулированная в контексте пространств Соболева $W_p^m(\mathbb{R}^n), p \in [1,\infty]$. Такая задача еще очень далека от своего окончательного решения. Мы расскажем о недавних результатах, полученных в этом направлении.