О совместном распределении условных матожиданий и задачах Байесовского убеждения

Пусть на достаточно богатом вероятностном пространстве задана Бернуллиевская случайная величина $\theta$ с вероятностью успеха $p$ и набор из $n$ сигма-алгебр $F_1,\ldots, F_n$. Рассмотрим условную вероятность успеха $p_i$ при условии $F_i$, т.е. $p_i=\mathbb{E}[\theta\mid F_i]$. Какие совместные распределения $p_1,\ldots, p_n$ можно получить, если мы вольны выбирать сигма-алгебры?
При $n=1$ можно получить любое распределение на $[0,1]$ со средним $p$. При $n\geq 2$ задача становится неожиданно богатой.

• Можно ли получить равномерное распределение на квадрате $[0,1]^2$? ($n=2$)
• А на кубе? ($n=3$)
• Могут ли $p_1,p_2$ быть отрицательно коррелированы?

Мы обсудим ответы на эти и близкие вопросы, а также разберемся почему вокруг них написаны тысячи статей в молодой ветви теоретической экономики, Байесовском убеждении (Bayesian persuasion).
По работе https://arxiv.org/pdf/2002.11362.pdf с Itai Arieli, Yakov, Babichenko, и Omer Tamuz.