Короткие $SL_2$-структуры на алгебрах Ли

Известна классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера, позволяющая по простой йордановой алгебре $J$ построить простую алгебру Ли $\mathfrak g = \mathfrak{der}(J)\oplus\mathfrak{sl}_2(J)$. Теорема Титса–Кантора–Кёхера утверждает, что между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли существует взаимно однозначное соответствие.
Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ автоморфизмами алгебры Ли $\mathfrak g$, которое разлагается на неприводимые представления размерностей 1 и 3. Естественным обобщением является следующее понятие. Пусть $S$ — редуктивная алгебраическая группа. $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak g$ называется гомоморфизм $\Phi \colon S \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)$.
В докладе рассматриваются $SL_2$-структуры. $SL_2$-структуру назовём короткой, если представление $\Phi$ группы $SL_2$ разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. При этом изотипное разложение представления $\Phi$ будет иметь вид: $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus (\mathbb C^2 \otimes J_1)\oplus (\mathfrak{sl}_2 \otimes J_2)$. Конструкция Титса–Кантора–Кёхера получается при $J_1=0$. Доклад будет посвящён случаю $J_1 \ne 0$.
Аналогично теореме Титса–Кантора–Кёхера, будет установлено взаимно однозначное соответствие между короткими $SL_2$-структурами с $J_1\ne 0$ и так называемыми простыми симплектическими тройками Ли–Йордана $(\mathfrak g_0, J_1,J_2)$, где $J_1$ — симплектическое пространство, $\mathfrak g_0$ — редуктивная подалгебра Ли в $\mathfrak{sp}(J_1)$, а $J_2$ — простая йорданова подалгебра симметрических операторов на $J_1$. Будет дана полная классификация коротких $SL_2$-структур на простых алгебрах Ли.