Взвешенный комбинаторный поток Ямабе на триангулированных поверхностях

Доклад посвящен обобщенному варианту дискретного потока Ямабе на триангулированных поверхностях. Вершинам триангуляции при этом приписываются определенные положительные веса. В случае одинаковых весов, получается поток Ямабе, рассмотренный Ф.Луо.
Мы обсудим “наивную” версию дискретного потока Риччи, покажем, что он имеет большое количество первых интегралов и поэтому эквивалентен потоку Ямабе. Также мы обсудим типы особенностей, которые может формировать поверхность под действием потока.
Интерес к этой задаче обусловлен следующими результатами. Гамильтоном и Чоу было показано, что на замкнутой двумерной поверхности поток Риччи обладает очень важным свойством: для любой начальной метрики его решение сходится к метрике постоянной кривизны. Естественный вопрос, обладает ли этим свойством дискретизация потока Риччи, оказывается нетривиальным. Чоу и Луо предложили вариант дискретного потока Риччи для поверхностей, который этим свойством обладает, но при условии, что для поверхности с данной триангуляцией существует метрика постоянной кривизны. В их подходе используются метрики упаковок кругов.
Вместе с тем, наиболее простая дискретная версия потока Риччи (“наивная”) в качестве метрики использует набор длин ребер триангуляции. Эксперименты показывают, что такой поток может приводит к формированию особенностей. Классификация типов особенностей важна, так как она позволят описать перестройки, которые позволяют продолжить решение потока дальше, т.е. позволяют определить дискретный поток Риччи с перестройками. Сходимость решения такого потока для двумерных поверхностей к метрике постоянной кривизны, по всей видимости, пока не доказана.