Моментные характеристики случайного отображения с ограничениями на размеры компонент

Пусть $\mathfrak{S}_{n}$ - полугруппа отображений множества из $n$ элементов в себя. Как известно, граф каждого отображения из $\mathfrak{S}_{n}$ состоит из связных компонент, каждая из которых состоит из одного контура (цикла) и деревьев. Корнями деревьев являются вершины контура. Рассматривается совокупность $\mathfrak{S}_{n}(D)$ отображений из $\mathfrak{S}_{n}$, размеры компонент которых принадлежат множеству $D\subseteq N$. Пусть случайное отображение $\sigma_{n}=\sigma_{n}(D)$ равномерно распределено на $\mathfrak{S}_{n}(D)$. Рассматривается некоторый класс множеств $D$, имеющих положительные плотности во множестве $N$ натуральных чисел. Пусть $\zeta_{n}$ есть число компонент случайного отображения $\sigma_{n}$. Получены асимптотические формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины $\zeta_{n}$ при $n\rightarrow\infty$. При этом задача о нахождении асимптотической формулы для $\mathbf D\zeta_{n}$ оказывается гораздо сложнее, чем для нецентральных моментов по той причине, что $\mathbf E\zeta^2_{n}$ и $(\mathbf E\zeta_{n})^2$ имеют одинаковые главные члены асимптотики на бесконечности. Даётся краткий обзор полученных ранее результатов в этом направлении начиная с основополагающей работы Б. Харриса (1960).