Мультипликативные неравенства и BMO

В докладе планируется обсудить так называемое мультипликативное неравенство для функций из пространства BMO:
$$\|\phi\|_{L^r}^r \leq C_{p,r}\|\phi\|_{L^p}^{p} \|\phi\|_{BMO}^{r-p}$$
при $1<p<r<\infty$. Мы обсудим, как найти точную константу в этом неравенстве для случая пространства BMO с квадратичной нормой на отрезке, прямой или окружности. Для случая отрезка или окружности это неравенство, разумеется, неверно, так как правая часть обнуляется на константах. Дабы избежать этой неприятности, рассматривая это неравенство для функций на отрезке и окружности, мы накладываем дополнительное условие: среднее значение $\phi$ равно нулю.