Индивидуальная теорема о равномерном приближении гармоническими функциями

Для гармонических функций получена теорема о равномерном приближении индивидуальных функций на компактах, аналогичная теореме А. Г. Витушкина, известной для аналитических функций.
Именно, функция $f$, непрерывная на компакте $X\in\mathbb R^3$ и гармоническая внутри $X$, непрерывно продолженная за пределы $X$ по теореме Уитни, равномерно приближается на $X$ с любой степенью точности функциями, гармоническими в окрестностях $X$, тогда и только тогда, когда для любого шара $B$ радиуса $r$ с границей $\partial B$ имеет место оценка
$$ |f_{\mathrm{mean}}(\partial B)- f_{\mathrm{mean}}(B)| \le \varepsilon(r)r^{-1}\mathrm{Cap}(k B\setminus X), $$
где в левой части модуль разности средних значений $f$ по шару и его границе, $\varepsilon$ — бесконечно малая, $k>0$ — фиксированная постоянная, $\mathrm{Cap}(\,\cdot\,)$ — гармоническая емкость.
В доказательстве используются специальная геометрическая конструкция и методы теории сингулярных интегралов.