Бесконечномерный вариант второй равномерной предельной теоремы Колмогорова

А.Н.Колмогоров (1956) поставил задачу оценки точности безгранично делимой аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин, распределения которых сосредоточены на коротких интервалах длины $\tau<1/2$ с точностью до малой вероятности $p$. Ограничение на распределения слагаемых является неасимптотическим аналогом классического условия бесконечной малости (пренебрежимости) в схеме серий независимых случайных величин. Оценка точности приближения может рассматриваться как количественное уточнение классической теоремы Хинчина о множестве безгранично делимых распределений как множестве предельных законов для распределений сумм, участвующих в схеме серий. А.Ю. Зайцев (1983) доказал, что в одномерном случае точность аппроксимации в метрике Леви имеет вид $c(p+\tau \log(1/\tau))$, что значительно точнее как первоначального результата А.Н. Колмогорова, так и полученных позднее результатов других авторов. В качестве приближающих использовались так называемые сопровождающие безгранично делимые распределения. Более того, как показал Т. Арак, оценка оказалась правильной по порядку. Позднее А.Ю. Зайцев (1989) показал, что аналогичная оценка справедлива и в многомерном случае, причем вместо абсолютной константы c в оценке появляется множитель $c(d)$, зависящий только от размерности $d$. Многомерный аналог метрики Леви определялся так же, как расстояние Прохорова, только вместо произвольных борелевских множеств использовались параллелепипеды со сторонами, параллельными координатным осям. В недавней работе Ф. Гётце, А.Ю. Зайцева и Д.Н. Запорожца (2019) было показано, что вместо параллелепипедов в этом результате можно взять выпуклые многогранники с ограниченным числом m количеством полупространств, участвующих в их определениях. В работе А.Ю. Зайцева (совместно с Ф.Гётце), принятой к опубликованию в журнале "Теория вероятностей и ее применения", показано, что эти результаты могут быть получены с помощью некоторого альтернативного класса аппроксимирующих безгранично делимых распределений. Распределения из этого класса отличаются от сопровождающих заменой спектральной меры в $\tau$-окрестности нуля, не меняющей среднего значения и ковариационного оператора. Результаты обобщены и на бесконечномерный случай. Их можно считать адекватными бесконечномерными аналогами второй равномерной предельной теоремы Колмогорова. Константы при этом зависят только от $m$.