Критические ветвящиеся процессы в случайной среде с иммиграцией: размер единственного выжившего семейства (авторы Ватутин В.А., Смади Ш., Дьяконова Е.Е)

Мы рассматриваем критический ветвящийся процесс $Y(n), n\ge 0$, эволюционирующий в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, к каждому поколению которого присоединяется ровно один иммигрант. Обозначим $\mathcal{A}(i,n)$ событие, состоящее в том, что все индивидуумы, существующие в процессе в момент $n$, являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент $i$. Мы исследуем при $n \to\infty$ распределение случайной величины $Y(n)$, предполагая, что событие $\mathcal{A}(i,n)$ произошло, а момент $i$ либо фиксирован, либо близок к $n$, либо стремится к бесконечности, но далек от $n$.