Симметрические инварианты централизаторов (по совместной работе с Д. Панюшевым и А. Преметом)

Пусть $g$ — это полупростая комплексная алгебра Ли, $e$ — ее нильпотентный элемент, $g_e$ — его централизатор, и $(e,h,f)$ — $\mathrm{sl}_2$-тройка, связанная с этим нильпотентом. А. Премет высказал гипотезу о том, что алгебра инвариантов $S(g_e)^{g_e}$ является алгеброй многочленов от $r$ переменных, где число $r$ равно индексу алгебры $g$. Это обобщение гипотезы Элашвили об индексе, согласно которой индексы централизатора $g_e$ и алгебры $g_e$ совпадают.
Естественная конструкция инвариантов связана с так называемым сечением Слодови $S=e+g_f$. На аффинном пространстве $S$ определены две Пуассоновы структуры. Одна происходит из $g^*$, a другая из $(g_e)^*$. Причем вторая является линейной частью первой. Из этого следует, что для любого $g$-инвариана $F\in S(g)$ младшая компонента $e^F$ его ограничения на $S$ инвариантна относительно коприсоединенного действия централизатора $g_e$.
В докладе будет показано, что в случаях полной линейной и симплектической алгебр
$$ S(g_e)^{g_e}=C[e^F_1,\dots,e^F_r] $$
для некоторой системы образующих $\{F_i\}$ в $S(g)^g$. Тем самым в этих двух случаях будет доказана гипотеза Премета.