Особенности геодезических потоков в 2D метриках переменной сигнатуры: десять лет спустя

Доклад посвящён обзору результатов об особенностях геодезических потоков в гладких двумерных метриках переменной сигнатуры (такие метрики часто называются псевдоримановыми). В случае общего положения псевдориманова метрика вырождается на гладкой кривой. Точки вырождения метрики являются сингулярными точками соответствующего геодезического потока. Вследствие нарушения условий теоремы существования и единственности, геодезические не могут выходить из точки вырождения во всевозможных направлениях, но лишь в определённых “допустимых” направлениях. В общем случае размерности два число допустимых направлений конечно и почти во всех точках кривой вырождения равно 1 или 3, в отдельных точках равно 2. Качественное поведение геодезических в точках вырождения псевдоримановой метрики также весьма сильно отличается от того, что бывает в римановом случае. Основным техническим инструментом исследований указанных особенностей является теория локальных нормальных форм векторных полей с неизолированными особыми точками. Краткий обзор результатов можно найти здесь: https://arxiv.org/pdf/1801.09815.pdf