|
|
Дифференциальная геометрия и приложения
14 сентября 2020 г. 17:45–19:20, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 16-10
|
|
|
|
|
|
Геометрия класса Громова-Хаусдорфа
А. О. Иванов, А. А. Тужилин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 90 |
|
Аннотация:
Расстояние Громова-Хаусдорфа (GH-расстояние) измеряет различие между
каждой парой непустых метрических пространств. Это расстояние
неотрицательно, симметрично, зануляется на изометричных пространствах и
удовлетворяет неравенству треугольника. GH-расстояние задает
соответствующую сходимость последовательностей метрических пространств.
Традиционно наиболее интересным семейством, на котором изучается
GH-расстояние, является пространство классов изометрии компактных
метрических пространств. Для некомпактного случая, включая польские
пространства и даже ограниченно компактные, в основном рассматривается
модификация сходимости этого типа (так называемая пунктированная
GH-сходимость). Отметим, что лишь совсем недавно появилась статья, в
которой точечная GH-сходимость для ограниченно компактных пространств
была описана в терминах некоторой метрики, построенной на множестве
таких пространств.
В настоящем докладе мы будем иметь дело с традиционным GH-расстоянием на
классе GH всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до
изометрии. Отметим, что семейство классов изометрии всех метрических
пространств не является множеством (см. парадокс Кантора). Мы используем
аксиоматику теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя для построения
соответствующей геометрии на классе GH. Кроме того, мы покажем, что
GH-расстояние на GH является внутренней псевдометрикой в следующем
смысле: для точек на конечном расстоянии это расстояние равно точной
нижней грани длин всех кривых, соединяющих эти точки. Далее мы обсудим
несколько результатов, посвященных метрическим сегментам в классе GH и
его подклассе, состоящем из всех ограниченных метрических пространств.
Метрический сегмент - это подкласс всех метрических пространств между
парой данных. Мы приведем несколько результатов о возможности
продолжения таких сегментов за их концы.
В последней части мы дадим краткий обзор классических и современных
результатов, посвященных GH-расстоянию компактных метрических пространств.
Отметим, что презентация подготовлена на английском языке, так что
доклад будет доступен и иностранным гражданам.
|
|