Квантовые интегрируемые системы, квантовая спектральная кривая Талалаева и соответствие Ленглендса

Интегрируемые системы обычно связаны с алгебрами Ли и происходят из коммутативных подалгебр в универсальных обертывающих. Основным методом в теории классических интегрируемых систем является метод спектральной кривой.
В докладе будет рассказан развиваемый в последнее время Д. Талалаевым и докладчиком метод «квантовой спектральной кривой», который является столь же эффективным методом исследования квантовых систем, сколь обычная спектральная кривая для классических.
«Квантовая спектральная кривая» позволяет эффективно находить спектр и собственные вектора квантовых интегрируемых систем. Будут рассказаны также приложения «квантовой спектральной кривой» к решению нескольких давно стоявших проблем в теории алгебр Ли: построение максмальной коммутативной подалгебры в $U(\mathrm{gl}_n[t])$, явное описание центра алгебры $U(\mathrm{gl}_n[t,t^{-1}],c)$ на критическом уровне и локального соответствия Ленгледса, тождества Ньютона и Гамильтона–Кэли для Янгианов и $U(\mathrm{gl}_n[t])$. А также новый взгляд на детерминант Капелли и приложения к уравнению Книжника–Замолодчикова.
Если время позволит будет обсуждена проблема обобщения этих результатов на $n$-мерный случай $U(\mathrm{gl}_n[t_1,\dots,t_n],c)$ и необходимость построения теории $n$-связностей, $n$-категорий, $n$-представлений групп, $n$-симлектических многообразий.
Доклад будет основан на работах Д. Талалаева и докладчика.

Список литературы

1. D. Talalaev, Quantization of the Gaudin System [Квантование системы Годена], arXiv: hep-th/0404153
2. A. Chervov, D. Talalaev, Universal G-oper and Gaudin eigenproblem, arXiv: hep-th/0409007
3. A. Chervov, D. Talalaev, Quantum spectral curves, quantum integrable systems andthe geometric Langlands correspondence, arXiv: hep-th/0604128
4. A. Chervov, D. Talalaev, KZ equation, G-opers, quantum Drinfeld-Sokolov reductionand Cayley-Hamilton identity, arXiv: hep-th/0607250