Стратификация Деодара для клеток Шуберта и её обобщения (по работам В. Деодара, Ч. Куртиса, Б. Вебстера и М. Якимова)

Пусть $G$ — полупростая алгебраическая группа, а $B$ и $B^-$ — пара противоположных борелевских подгрупп в $G$. Рассмотрим многообразие флагов $G/B$ и его шубертовские разложения, соответствующие $B$ и $B^-$. Пересечения клеток Шуберта из первого и второго разложения
$$ BwB\cup B^-vB $$
называются двойными клетками Шуберта. В работе V. Deodhar'a (1985) описывается разложение двойных клеток Шуберта в объединение конечного числа подмножеств, каждое из которых изоморфно
$$ \mathbb C^m\times(\mathbb C^*)^n. $$
Эти подмножества параметризуются подсловами особого вида в приведённой записи элемента $w$.
Стратификация Деодара допускает различные обобщения (C. Curtis, 1988; B. Webster and M. Yakimov, 2006). В последней работе был получен аналог разложения Деодара для двойного многообразия флагов
$$ G/B\times G/B^- $$
c действием подгрупп $B\times B^-$ и $G_{\mathrm{diag}}$. Это разложение оказывается связанным с пуассоновой геометрией $G\times G$ и результатами Фомина и Зелевинского о полной положительности (total positivity).