Алгоритмы для полуинвариантов колчанов

Предположим, что имеется редуктивная группа $G$ и ее линейное представление $V$. Как устроена алгебра инвариантов $k[V]^G$, стабилизатор точки общего положения, замкнутые орбиты? Эти естественные вопросы, как правило, очень трудны и постоянные слушатели семинара знают, что решаются они только для относительно немногочисленных групп с «хорошими» свойствами и решение это в каждом случае требует своих методов и подходов.
Но вот имеется класс представлений полупростых групп, связанных с представлениями колчанов, т.е. для колчана $Q$ и вектора размерности $\alpha$ рассматривается представление группы $\mathrm{GL}(\alpha)$ в пространстве $R(Q,\alpha)$, тесно связанное с теорией представлений колчана $Q$ или, если угодно, соответствующей ассоциативной алгебры путей $k[Q]$.
Понятие стабилизатора общего положения для действия $\mathrm{GL}(\alpha)$ было давно переформулировано В. Кацем в терминах разложения $\alpha$ общего положения. Вводя это понятие, Кац предполагал, что оно должно быть вычислимо, однако долгое время никакого простого подхода к этому не обнаруживалось. Прорыв был совершен в 2002 году Дерксеном и Вайманом, которые предложили очень простой и быстрый алгоритм подсчета разложения общего положения (в естественном предположении, что $Q$ не имеет ориентированных циклов), причем оказалось, что все нужное для него уже существовало в работах Скофилда с 1992 года.
Некоторое время назад я предложил подход к изучению замкнутых орбит и инвариантов группы $\mathrm{SL}(\alpha)$, использующий и теорию представлений колчанов, и геометрическую теорию инвариантов (например теорему о слайсе), ключевым понятием которого являются локально полупростые представления. Последние описываются разложениями $\alpha$, и, например, понятию замкнутой орбиты $\mathrm{SL}(\alpha)$ общего положения соответствует локально полупростое разложение общего положения.
Я собираюсь рассказать о нескольких взаимодействующих алгоритмах разработанных мной в предположении, что $Q$ не имеет ориентированных циклов. Во-первых, для случая, когда $\mathrm{GL}(\alpha)$ действует с открытой орбитой: здесь можно вычислить фактор
$$ R(Q,\alpha)/\mathrm{SL}(\alpha) $$
как в смысле образующих полуинвариантов, так и стратификацию Луны. Во-вторых, для произвольного случая можно вычислить локально полупростое разложение общего положения.
Поскольку описание алгоритмов бывает особенно убедительным, если воплощается программно, я написал программу, которая позволяет описывать колчаны и делать с ними все эти вычисления, включая и разложение общего положения по Дерксену и Вайману. Этой программой я поделюсь со всеми желающими.