Нильпотентные орбиты и смешанные градуировки полупростых алгебр Ли

Пусть $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$ — это $\mathbb{Z}_2$-градуированная полупростая алгебра Ли. Когда-то давно Kostant и Rallis инициировали изучение нильпотентных $G_0$-орбит в $\mathfrak{g}_1$. В докладе будет рассказано о попытке связать свойства нильпотентных $G_0$-орбит в $\mathfrak{g}_0$ с нильпотентными $G$-орбитами в $\mathfrak{g}$ и некоторых приложениях этого.
Если $e$ — нильпотентный элемент в $\mathfrak{g}_0$, то $\mathfrak{sl}(2)$-тройка $\{e,h,f\}$ тоже может быть выбрана в $\mathfrak{g}_0$. Соединяя потом $\mathbb{Z}$-градуировку, соответствующую $h$, с данной $\mathbb{Z}_2$-градуировкой, мы получим «смешанную» $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2)$-градуировку в $\mathfrak{g}$. Свойства такой полиградуировки представляют интересный инвариант пары: ($\mathbb{Z}_2$-градуировка) + (нильпотент в $\mathfrak{g}_0$). Это есть наше основное техническое средство.
Один из результатов состоит в том, что если $e$ — регулярный нильпотент в $\mathfrak{g}_0$, то диаграмма Дынкина элемента $e$ в $\mathfrak{g}$ имеет только изолированные нули. Из других наблюдений отмечу тот факт, что борелевская подгруппа $B\subset G$ имеет плотную орбиту в коммутанте $(U,U)$ максимальной унипотентной подгруппы $U\subset B$. Доказательство использует свойства некоторой внутренней инволюции алгебры $\mathfrak{g}$. Я также надеюсь рассказать о делимых нильпотентных орбитах и $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)$-градуировках в связи со смешанными градуировками.