О структуре сопряженных конусов систем корней (по работе J.-L. Waldspurger “Une remarque sur les systèmes de racines”)

Пусть $V$ — конечномерное евклидово пространство и $R$ — система корней в нем. Зафиксируем произвольный открытый конус $C^+$. Тогда все неотрицательные вектора (относительно порядка, определяемого $C^+$) образуют замкнутый конус $\overline{^+C}$, который называется сопряженным к $C^+$.
Хорошо известно, что вектор v принадлежит конусу $C^+$ тогда и только тогда, когда вектор $v-w(v)$ является неотрицательным для всех $w\in W$, где $W$ — группа Вейля системы корней $R$, т.е. верно включение
$$ \bigcup_{w\in W}(1-w)(C^+)\subseteq\overline{^+C}. $$
Цель доклада — доказать следующую теорему, усиливающую этот результат.
Теорема (Waldspurger). Сопряженный конус представляется в виде дизъюнктного объединения конусов вида $(1-w)(C^+)$, где $w\in W$, т.е. верна следующая формула:
$$ \overline{^+C}=\bigsqcup_{w\in W}(1-w)(C^+). $$